Вы здесь

ДПА 2013 11 класс

Undefined

delphin Дата: Вторник, 28.05.2013, 08:37 | Сообщение # 1

Высота прямоугольного треугольника АВС, проведенная к гипотенузе, делит его на два треугольника. Расстояние между центрами окружностей, вписанных в эти треугольники, равно 1 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Почему-то складывается впечатление, что в задаче не хватает данных. Можно ли доказать, что мы получим множество различных треугольников, соответствующих условию задачи (r1 + r2 = 1).

Admin Дата: Вторник, 28.05.2013, 10:43 | Сообщение # 2

Где-то уже приходилось видеть подобного рода задачи. Возможно, в сборнике для абитуриентов
Тюменского государственного университета, а может и какого-нибудь другого вуза.
В-приципе, если в такого рода сборниках и случаются задачи с недостающими данными, то крайне редко. В данном случае условие задачи вполне корректно.

Множество различных прямоугольных треугольников, удовлетворяющих условию задачи мы действительно получим, но все полученные треугольники будут иметь одинаковый радиус вписанной окружности. Что нельзя утверждать о треугольниках для которых r1 + r2 = 1. На самом деле r1 + r2 = 1 - это заблужение, которое помешало вам решить задачу, так как фраза "Расстояние между центрами окружностей, вписанных в эти треугольники, равно 1 см." означает другое (см. рисунок).

Итак. Имем прямоугольный треугольник АВС, СК - высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два прямоугольных треугольника АСК и СВК, подобных к треугольнику АВС. Обозначим через О1 центр окружности, вписанной в треугольник  АСК, а через r1 ее радиус. О2 - центр окружности, вписанной в треугольник  СВК, r2 - ее радиус. Для соответсвия рисунку будем считать r1 > r2 (что не уменьшает общности решения). По условию задачи О1О2  = 1. Для простоты выкладок обозначим AB=c, AC=b, BC=a.

Пускай r - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, как известно r = (a + b - c)/2. Используя подобие треугольникоа АВС и АСК несложно доказать, что r1:r = b:c, аналогичное соотношение r2:r = a:c
следует из подобия АВС и СВК.

Из центров заданных окружностей проведем радиусы О1P и О2Qв точки их касания к гипотенузе АВ. Радиусы
О1P и О2Qперпендикулярны к гипотенузе АВ, и соответственно, параллельны между собой. Несложно доказать, что  О1P =РК = r1и О2Q =  QК = r2.

Проведем перпендикуляр О2М из центра О2 меньшей окружности к радиусу О1Р большей. В полученном прямоугольном треугольнике О1МО2 имеем:
О1О2 = 1, О1М = r1 - r2, О2М= РQ = РQ + QК =
r1 +r2.
Применяя к О1МО2теорему Пифагора, получим:
(r1 - r2)2 + (r1 +r2)2 = 1,
r12 + 2r1r2 + r22 + r12 - 2r1r2 + r22 = 1,

2r12 + 2r22 = 1.

Испоьзуя равенства  r1= br/c, r2 = ar/c, полученные из соотношений  r1:r = b:c и r2:r = a:c, получим

2(br/c)2 + 2(аr/c)2 = 1,
2r2(b2 + а2)/(c2)= 1.

Из той же теоремы Пифагора следует, что(b2 + а2)/(c2) = 1, поэтому

2r2 = 1, и 

author: 
admin
Просмотров: 
478
Категория: