Вы здесь

Пара задачек с плоскими фигурами.

Undefined

devag  Дата: Вторник, 22.10.2013, 10:26 | Сообщение # 1

1. В тр-ке АВС известно, что АВ=18, Cos (В)=4/9. АН-высота. Через точку Н проведена прямая , отсекающая от заданного тр-ка подобный ему тр-к и пересекающая сторону АВ в точке М ( по видимому НМ паралельна АС). Требуется (всего-то!) найти НМ.
 2. В четырехугольнике АВСД угол С вдвое больше угла А. Угол АДВ =20 , угол ВДС=40. Стороны АВ и СД равны между собой. Найти угол АВС.

Admin Дата: Среда, 23.10.2013, 11:04 | Сообщение # 2

Первая задача действительно "плоская". Налицо недостаточность данных. По заданным данным можно построить много различных треугольников с разными длинами стороны АС, от которой непосредственно и зависит решение задачи (см. рисунок)

Кстати, замечанием о параллельности НМ и АС вы ввели в заблуждение даже меня. На самом деле это является достаточным, но не необходимым условием подобия заданных треугольников.

devag Дата: Среда, 23.10.2013, 12:44 | Сообщение # 3

Прошу прощения , я ни кого не хотел вводить в заблуждение, тем более Вас, я просто  предложил наиболее очевидный случай. А , что касаемо данных , то я за что купил за то и продаю.Первоисточник Томский госуниверситет (ТУСУР) тестовые задания по математике 2012.

Admin Дата: Среда, 23.10.2013, 13:40 | Сообщение # 4

По поводу нашего заблуждения о параллельности НМ и АС. Даже при фиксированной вершине С задача имеет два решения:

АВС МВН НВМ1.

По поводу задачи вцелом. Думаю, автор задачи словами "заданного тр-ка" обозначил треугольник АНВ а не АВС. Тогда все становится на свои места: размещение вершины С не влияет на решение задачи, а разделить прямоугольный треугольник на два подобных из вершины прямого угла можно только проведя высоту к гипотенузе.

Такова, с позволения сказать, философия этого условия. В заданиях к различного рода контрольным работам (итоговым, семестровым и пр.) такое тоже нередко встречается. Анализ корректности условия задачи вполне можно использовать как дополнительный элемент обучения предмету.

devag Дата: Четверг, 24.10.2013, 12:57 | Сообщение # 5

Ну, что же, вполне возможно. Думаю не стоит заморачиваться по этому поводу , однако за проявленное внимание- спасибо. А что Вы скажете по поводу второй " угловатой" задачи?

Admin Дата: Четверг, 24.10.2013, 13:34 | Сообщение # 6

Работаем... Применив две теоремы синусов получил "угловатое" тригонометрическое уравнение, которое, в-принципе, должно бы иметь решение, но его нахождение совсем нелегкая работа...

По крайней мере недостаточность данных в условии на первый взгляд не просматривается. Будем думать.

Admin Дата: Четверг, 31.10.2013, 22:58 | Сообщение # 7

В своем исследовании второй задачи пришел к интересному выводу. Если заданный четырехугольник ABCD равнобедренная трапеция с основаниями BC и AD, и боковыми сторонами AB=CD, то угол A равен углу D, т. е. 40о + 20о = 60о, тогда угол С = 180о - 60о = 120о вдвое больше угла А. Такая трапеция полностью удовлетворяет условию задачи и является ее решением. Но доказать, что это единственное решение задачи, или, наоборот, найти еще одно ее решение и уличить условие в недостаточности данных пока не удалось.

devag Дата: Пятница, 01.11.2013, 12:39 | Сообщение # 8

Принято к сведению . Спасибо, что делитесь своими выводами . Обнадеживает тот факт, что задача не заброшена в дальний угол, с глаз долой. thumb

Admin Дата: Среда, 20.11.2013, 17:08 | Сообщение # 9

Пора прекращать безнадежные попытки доказательства недоказуемого. Получить чисто геометрическое решение задачи 2 не удалось.

Остановимся на упомянутых ранее фактах:

1. Равнобедренная трапеция с углами 600 и 1200, как нетрудно проверить, является решением поставленной задачи.

2. По данным задачи не остается ничего иного, кроме применения для ее решения теоремы синусов.

Для удобства обозначим через х угол А нашего четырехугольника, тогда угол С = 2х. Обозначим также линейные элементы: AB=CD=a, BD=d (см. рисунок).

Из треугольника ABD по теореме синусов получим

Из треугольника ACD по теореме синусов получим

Записав последнее соотношение в виде

заменим на получим уравнение

из которого получим тригонометрическое уравнение
2cos x sin 200 = sin(2x+400).

Так как решить последнее уравнение в общем виде мне не удалось, тот пришлось воспользоваться правилом "против лома нет приема" и перейти к графическому анализу его решений.

Один корень этого уравнения нам известен: х=600. Будем считать, что в условии задачи присутствует слово "выпуклый" по отношению к нашему четырехугольнику (если нет, то задача имеет другое решение). Если так, то сумма углов А, С и D не должна быть меньше 1800 и больше 3600, т.е. величина 3х должна находится в пределах от 1200 до 3000, следовательно, 400<1000. Как видим на рисунке графиков функций у = 2cos x sin 200 и у = sin(2x+400), на этом отрезке они пересекаются только один раз:

Итак. Наше "угаданное" решение единственно и угол ABC равен углу BCD и равен 1200.

devag Дата: Четверг, 21.11.2013, 19:26 | Сообщение # 10

Уф! Выдохнем наконец . С такими стараниями и лоб расшибить не долго. Мне ведь эта головоломка тоже не давала покоя. Спасибо за Ваши изыски. Давайте уже остановимся на этом. Поставим на этой задаче жирнющую точищу.

author: 
admin
Просмотров: 
233
Категория: