Вы здесь

Делимость выражений на 10

Undefined

Доказать, что для любого натурального числа n одно из чисел n(n2 - 1) или n(n2 + 1) нацело делится на 10.

Решение. Доказательства в решениях задач подобного рода проводятся, преимущественно, с использованием метода математической индукции. Эта задача не исключение. Действительно, для n=1 число n(n2 - 1) = 0, а 0 делится на любое целое число нацело, для n=2 число n(n2 + 1) = 10, для n=3 число n(n2 + 1) = 30, n=4 число n(n2 - 1) = 60, для n=5 и число n(n2 - 1) = 120 и число n(n2 + 1) = 130 делятся нацело на 10. И т.д. Применяя метод математической индукции, следует доказать, что если для некоторого натурального k одно из чисел k(k2 + 1) или k(k2 - 1) делится нацело на 10 то одно из чисел (k+1)((k+1)2 + 1) или (k+1)((k+1)2 - 1).

Так как и в условии, и в выводах последнего утверждения присутствуют по два выражения, связанные союзом "или", то его доказательство представляется нам громоздким, ввиду рассмотрения различных возможных вариантов. Поэтому мы проведем доказательство, с помощью анализа возможных вариантов конструкции заданных выражений. Доказательство существенно использует тот очевидный факт, что последняя цифра произведения двух (или нескольких) целых чисел равна последней цифре произведения их последних цифр, а признаком делимости целого числа на 10 является то, что его последняя цифра равна 0.

Итак. для любого целого числа n выражение n(n2 - 1), применив формулу разности квадратов, можно записать в виде n(n - 1)(n + 1). Последнее выражение является ни чем иным как произведением трех последовательных чисел n-1, n и n+1. Заметим, что среди трех последовательных целых чисел хотя бы одно обязательно окажется четным.

 

  • Среди чисел n-1, n и n+1 одно оканчивается на 0, тогда и их произведение n(n - 1)(n + 1)=n(n2 - 1) оканчивается на 0, т.е. делится нацело на 10. Такую ситуацию имеем если последняя цифра числа n равна 0, или 1 (тогда n-1 имеет последнюю цифру 0), или 9 (тогда n+1 имеет последнюю цифру 0).
  • Среди чисел n-1, n и n+1 одно имеет последнюю цифру 5, т.е. делится нацело на 5. Произведение числа, кратного 5 на любое четное число делится нацело на 10. Так как среди чисел n-1, n и n+1 обязательно присутствует хотя бы одно четное, то произведение n(n - 1)(n + 1)=n(n2 - 1) делится на 10 нацело. Такую ситуацию имеем, если число n оканчивается на 4, 5 или 6.
  • В остальных случаях, т.е. когда n имеет последнюю цифру 2, 3, 7 или 8 число n(n2 - 1) делиться нацело на 10 не будет. В этом случае рассмотрим выражение n(n2 + 1). Если последняя цифра числа n равна 3 или 7, то его квадрат оканчивается на 9, тогда n2 + 1 имеет последнюю цифру 0 и делится нацело на 10 вместе с произведением n(n2 + 1). Если последняя цифра числа n равна 2 или 8, то само n четно, а его квадрат имеет последнюю цифру 4, следовательно последняя цифра числа n2 + 1 равна 5 и оно делится нацело на 5. Тогда число n(n2 + 1) нацело делится на 10 как произведение числа кратного 5 на число кратное 2.

 

Небольшое замечание. Вопросам делимости натуральных чисел и решениям подобного рода задач посвящено немало литературы, в том числе и материалов в сети, к примеру, рефератов или небольших научных работ. Если готовою работу найти не удается, рекомендуем воспользоваться улугой реферат на заказ, предоставляемой в сети опытными научными работниками или преподавателями.
author: 
admin
Просмотров: 
900
Раздел: