Вы здесь

Последовательность четверок положительных чисел

Undefined

Дана четверка положительных чисел (а, b, с, d). Из нее получается следующая четверка положительных чисел вида (аb, bc, сd, da), то есть, каждое число умножается на следующее, а последнее на перове. Из полученной четверки по тому же принципу получается новая и т. д. Докажите, что в полученной последовательности четверок чисел никогда не повторяется четверка (а, b, с, d), кроме случая а=b=с=d=1.

Условие задачи чем-то напоминает старые фильмы о хакерах и шпионах. Старенький монохромный монитор с бегущей последовательностью четверок чисел и контрольными суммами (произведениями в нашем случае). Невольно вспоминаешь о антивирусных программах и хочется срочно обзавестись eset nod32 business edition или другим современным  надежным средством защиты информации.

Решение. Сначала докажем, что если четверка (а, b, с, d) встретилась в последовательности во второй раз, то аbсd=1.

Пусть произведение abcd= q, тогда произведение чисел следующей четверки abbccdda=abcdabcd=q2. Произведение чисел третьей четверки, очевидно, составит q4, четвертой q8 и т. д. Произведение чисел k-й четверки составит q2k-1. Если через k шагов в последовательности опять встретилась четверка (а, b, с, d), то произведение ее чисел должно составлять q2k-1 и q одновременно, а это возможно лишь при q=1 (0 не рассматриваем ввиду того, что числа а, b, с, d положительны).

Рассмотрим вторую четверку последовательности (аb, bc, сd, da). Если abcd=1, то несложно убедится, что четвертая четверка последовательности будет b2c2, c2d2, d2a2, a2b2. То есть, четвертая четверка получается из второй возыедением в квадрат и перестановкой, таким же способом (при abcd=1) из четвертой четверки получим шестую и т.д.

Пускай из чисел второй четверки не все равны единице, тогда наибольшее из них должно быть больше единицы. Квадрат числа большего единицы будет больше самого числа, следовательно, наибольшее из чисел 2n-й четверки будет неограниченно возрастать с ростом n, что противоречит возможности повторения четверок в последовательности, поэтому ab=bc=cd=da=1. Записав последнее равенство в виде системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными, и учитывая, что числа a, b, c, d положительны, получим a=b=c=d=1.

author: 
admin
Просмотров: 
590
Раздел: