Вы здесь

Сумма квадратов натуральных чисел

Undefined

Докажите, что для любого натурального числа n найдется такое натуральное число m, квадрат которого можно представить в виде суммы квадратов двух, трех, … , n различных натуральных чисел.

Решение.

1. Исследование (неполная индукция). При n=1, очевидно, рассматривать задачу не имеет смысла (так как квадрат натурального числа равен самому себе).

При n=2 чисел m, удовлетворяющих условию задачи найдется достаточно, это так называемые пифагорейские числа, наименьшая по величине составляющих ее чисел тройка – длины сторон египетского треугольника: 3, 4, 5 (52 = 32 + 42). Умножая каждое из этих чисел на одно и то же натуральное число, получим тройку натуральных чисел, квадрат одного из которых равен сумме квадратов двух других. Значит, при n=2, в роли числа m может быть любое натуральное число кратное 5.

Еще одна известная любому школьнику тройка пифагорейских чисел: 5, 12, 13 (132 = 122 + 52), содержит число 5, квадрат которого сам представляется в виде суммы квадратов двух различных натуральных чисел. Т.е., в этом случае можно записать 132 = 122 + 52 = 122 + 42 + 32 и при n=3 в роли числа m можно взять 13, квадрат которого представляется в виде суммы квадратов как двух, так и трех различных натуральных чисел (или любое натуральное число, кратное 13).

Для n=4 попробуем определить такие натуральные числа x и y, для которых x2 = y2 + 132, тогда квадрат числа x можно будет представить в виде суммы квадратов двух, трех и четырех различных натуральных чисел:x2 = y2 + 132 = y2 + 122 + 52 = y2 + 122 + 42+ 32.

Запишем равенство x2 = y2 + 132 в виде x2 - y2 = 132 и применив формулу разности квадратов получим (x - y)(x + y)= 132 = 169. В виду того, что число 169 имеет только три натуральных делителя: 1, 13 и 169, выбрать удовлетворяющие нашему требованию x и y можно единственным способом – если считать, что x - y =1, а x + y = 169 (в виду нечетности 169 это возможно). Итак, разделив 168, на 2 получим y = 84, а соответственно, x = 85. То есть, для n=4 имеем число m=85, квадрат которого можно представить в виде суммы квадратов 2-х, 3-х или 4-х различных натуральных чисел.

Этот процесс, очевидно, можно продолжить для любого натурального n. Например, на следующем его шаге из равенств x-y = 1 и x + y = 852 = 7225 найдем число 3613, квадрат которого можно представить в виде суммы квадратов 2-х, 3-х, 4-х или 5-и различных натуральных чисел. И т. д.

Итак, описанный выше процесс построения последовательности натуральных чисел, удовлетворяющих условию задачи, дает нам возможность утверждать, что для любого натурального числа n мы сможем "построить” нужное m (но в строго математическом смысле он еще не является доказательством). Заметим, что "успешность” нашего процесса базируется на том, что на каждом его шаге мы получаем нечетное число m (квадрат которого тоже нечетное число). Вследствие этого система уравнений x-y = 1 и x + y = m2 имеет решение в натуральных числах, и при этом наше следующее m (т. е. число x) тоже оказывается нечетным числом.

2. Доказательство (полная индукция). Выше установлено, что при n=2 мы имеем нечетное число m=5, квадрат которого можно представить в виде суммы квадратов 2 натуральных чисел: 52 = 32 + 42.

Допустим, что для некоторого натурального n=k существует такое нечетное число mk = 2p + 1 (p - натуральное число), квадрат которого можно представить в виде суммы квадратов двух, трех,…, k различных натуральных чисел. Тогда из системы уравнений

найдем натуральные числа и , для которых . То есть, квадрат числа mk+1 можно представить в виде суммы квадратов двух различных натуральны чисел mk и y. Так как квадрат mk можно представить в виде суммы квадратов двух, трех, …, k, то, соответственно, получим запись квадрата mk+1 еще и в виде суммы квадратов трех, четырех,…, k+1, различных натуральных чисел. При этом число mk+1 тоже нечетно.

Мы доказали, что из предположения о том что утверждение задачи справедливо при некотором натуральном n=k следует, что это же утверждение справедливо при следующем значении n=k+1. Следовательно, по принцип математической индукции мы ожжем утверждать справедливость этого утверждения для любого натурального n.

author: 
admin
Просмотров: 
3 939
Раздел: