Вы здесь

Разбиение пространства пересекающимися плоскостями

Undefined

На сколько частей делят пространство пять плоскостей, проходящих через одну точку, если никакие три из них не имеют общей прямой.

Решение. Две пересекающиеся плоскости делят пространство на 4 части, представленные четырьмя двугранными углами.

Три плоскости, имеющие общую точку пересечения, но не имеющие общей прямой делят пространство на 8 частей. Действительно, пересекая две пересекающиеся плоскости третей, не проходящей через их общую прямую, мы разделим ею надвое каждую из 4-х частей, полученных ранее. Примером такой конструкции вполне могут служить координатные плоскости прямоугольной декартовой системы координат в пространстве, разбивающие последнее на 8 координатных октантов.

Тут следует отметить один важный для дальнейшего решения момент: третья плоскость разделяет каждый из упомянутых выше двугранных углов каждым из 4-х плоских углов, образованных на ней двумя прямыми, по которых она пересекается с предыдущими двумя плоскостями. Пересекая упомянутые выше три плоскости, четвертой плоскостью (проходящей через их общую точку и не содержащей прямых их пересечения) следует учитывать, что разбиение пространства на части будет происходить за счет разделение надвое одного из полученных ранее 8 трехгранных углов, некоторым плоским углом, принадлежащим четвертой плоскости.

Четвертая плоскость пересечет каждую из предыдущих трех плоскостей по прямой. При этом все три прямые пересечения пройдут через точку пересечения плоскостей и образуют 6 плоских углов, каждый из которых разделит надвое какую-нибудь из 8 областей, полученных ранее. Т.е., только 6 из 8 частей пространства разделятся надвое. Получим 8+6=14 частей. Для наглядности можно попробовать провести в декартовой системе координат плоскость, проходящую через начало координат и все восемь координатных октантов

Проводя таким же образом пятую плоскость, мы получим на ней 4 прямых пересечения с предыдущими плоскостями, проходящие через общую точку плоскостей и образующие 8 плоских углов. Эти 8 углов способны разделить надвое только 8 из полученных ранее 14 частей пространства. Итого получим 14+8=22 части.

Эта задача принадлежит к разделу олимпиадных задач, хотя вполне могла бы рассматриваться, скажем, на занятии с репетитором Белгорода, так как задачи о взаимном размещении плоскостей в пространстве включены в программу ЕГЭ.На дополнительных занятиях у частных преподавателей довольно часто рассматриваются задачи повышенной сложности. Так что подготовка к ЕГЭ и ГИА по математике далеко не всегда сводится к решению набора стандартных задач из учебника.
author: 
admin
Просмотров: 
1 517
Категория: 
Раздел: