Вы здесь

Треугольник и его элементы 1

Undefined

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H, а медианы - в точке M. Точка K - середина отрезка MH. Найдите площадь треугольника AKC, если известно, что BAC = 45o.

Решение. В заданном треугольнике известны три элемента, два из них линейны, что позволяет (если известные элементы не зависят непосредственно друг от друга) решить треугольник, т.е. однозначно определить любой его элемент.

Далее, как говорится, дело техники. Конечно же математической, а не бытовой техники, имеющейся в интернет-магазине наших друзей. Тут нам потребуется, естественно, теорема Пифагора, свойства равнобедренных треугольников и средней линии трапеции. Ну и еще немного терпения.

Рассмотрим сначала пересечение высот треугольника ABC. Проведем высоты BF и СЕ, они пересекаются в точке H (см. рисунок). По условию BAC = 45o. Так как угол BFA образованный высотой BF и стороной АВ прямой, то угол ABF = 90o - 45o = 45o, следовательно, прямоугольный треугольник AFB равнобедренный, т. е. AF=BF. Применив к этому треугольнику теорему Пифагора, получим AB2 = AF2+BF2 = 2AF2, откуда и BF=AF=6. Аналогичным образом доказываем, что высота СЕ образует со стороной АС угол 45o, в следствии чего треугольник CFH является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой Применив теорему Пифагора к треугольнику CFH найдем и НF=СF=3.

Итак, в треугольнике ABC имеем: AC=AF+FC=6+3=9, BF=6,

Теперь перейдем к рассмотрению пересечения медиан. Из известного свойства медианы, по которому медиана разделяет треугольник на 2 треугольника равной площади, следует, что отрезки, проведенные от вершин треугольника до точки пересечения медиан разделяют его на три треугольника равной площади. В нашем случае Из чего следует, что высота треугольника AMC, проведенная к стороне AC,

Рассмотрим четырехугольник SMHF. В этом четырехугольнике стороны MS и HF параллельны, так как являются всотами соответсвующих треугольников, проведенные к одной и той же стороне АС, следовательно, SMHF - прямоугольная трапеция с основами MS и HF и боковыми сторонами MH и SF. Проведем высоту КТ треугольника АКС. В трапеции SMHF отрезок КТ параллелен к основаниям MS и HF и проходит через середину К боковой стороны МН, следовательно, является ее средней линией, поэтому Остается найти искомую площадь треугольника АКС по формуле

Ответ: SAKC = 11,25.

author: 
admin
Просмотров: 
1 976
Категория: 
Раздел: