Вы здесь

Вероятность появления всех чисел

Undefined

Найти вероятность того, что за восемь подбрасываний игральной кости каждое из 6 чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6) выпадет хотя бы 1 раз. Вероятность выпадения любого числа на кости считается одинаковой.

Решение. Чтобы правильно сформулировать процесс решения задачи, проанализируем ее модель в двух более простых случаях: найдем вероятность появления всех 6-ти чисел в следствии 6-ти и 7-и подбрасываний кости.

Вероятность того, что из 6-ти подбрасываний игральной кости получим выпадение всех 6-ти различных чисел на ее гранях можно найти последовательно оценивая вероятность выпадения "нужного" числа. При первом подбрасывании может выпасть любое число из 6-ти возможных, вероятность 1 или 6/6. Во втором подбрасывании для получения последовательности из всех чисел следует получить любое из оставшихся 5-ти чисел, вероятность 5/6. В третьем - одно из 4 чисел, не появившихся в первых двух подбрасываниях, вероятность 4/6 и т. д. В последнем подбрасывании кости следует получить то одно число, которое еще не появилось, вероятность 1/6. В описанной схеме искомая вероятность заключается в появлении последнего события при условии, что состоялись все предыдущие. Т.е. мы имеем дело с условными вероятностями и искомая вероятность равна их произведению:

Тот же результат можно получить применив "комбинаторный" подход. Количество различных исходов эксперимента можно определить количеством размещений из 6-ти элементов по 6 с повторениями, которое составляет 66. Количество же исходов в которых появятся все шесть чисел равно количеству размещений из 6-ти элементов по 6 без повторений, или же количеству перестановок из шести различных элементов, что 6!.

Для дальнейших рассуждений будем пользоваться вторым подходом. Если рассматривать 7 подбрасываний кости, то количество различных исходов такого эксперимента, очевидно равно количеству размещений из 6-ти элементов по 7 с повторениями, которое составляет 67. Благоприятствующие же появлению искомого события случаи представим как перестановки из 7-ми элементов, в которых один элемент повторяется дважды. Их количество составит 7!/2! для каждого из шести чисел, т.е. всего 6*(7!/2!). В этом случае получим

Наконец, в случае восьми подбрасываний кости, количество различных исходов выразится количеством размещений из 6-ти элементов по 8 с повторениями, которое составляет 68. Благоприятствующие появлению искомого события случаи тут получаются как перестановки двух видов:
1) перестановки из 8-ми элементов, в которых один элемент повторяется трижды, их количество составит 8!/3! для каждого из числа, т.е. всего 6*(8!/3!);
2) перестановки из 8-ми элементов, в которых два элемента повторяется дважды, их количество составит 8!/(2!*2!) для каждого из С62 наборов по 2 числа из 6, т.е. всего С62*(8!/(2!*2!));
В итоге получим

P.S. При большем количестве экспериментов решить эту задачу предложенным тут традиционным комбинаторным методом будет довольно сложно.На самом деле тут идет речь о так называемом полиномиальном распределение, но его применение по сравнению с предложенной тут схемой это как цифровая печать по сравнению с запиской на блокнотном листе.Поэтому хотелось продемонстрировать суть представленной в задаче вероятностной модели с позиций элементарной комбинаторике. В последующих публикациях постараемся, так сказать, "напечатать" решение обобщенной задачи с точки зрения "цифровая типография".

author: 
admin
Просмотров: 
933
Раздел: