Вы здесь

Определить фальшивку из 13 монет за 3 взвешивания

Undefined

Имеется 13 монет, среди которых одна фальшивая. Известно, что фальшивая монета отличается от остальных весом, но как именно, легче или тяжелее, не известно. Как с помощью чашечных весов определить фальшивку на более, чем за три взвешивания?

Разобьем монеты на три группы по 4, 4 и 5. На весы положим первые две, т. е., по четыре монеты на каждую чашу. Вследствие такого первого взвешивания возможны две ситуации:

1. Весы уравновешены и обе группы по 4 монеты имеют одинаковый вес. В этом случае нам повезло, так как мы получили 8 настоящих монет на весах, а фальшивка оказалась среды оставшихся пяти.
Далее на одну чашу весов положим любые три из оставшихся пяти монет, а на второю – три монеты из 8-ми, определенных нами как настоящие в первом взвешивании. Тут имеем три возможных исхода взвешивания:

1.1. Три монеты, взятые нами из 5-ти исследуемых, оказались тяжелее трех настоящих (взятых из 8-ми проверенных в первом взвешивании). В этом случае фальшивка находится среди взятых монет и она тяжелее настоящей монеты.
Берем эти монеты, откладываем одну из них в сторону, а две кладем на чаши весов. Если чаши весов уравновешены, то фальшивой оказалась отложенная монета, если нет, то та, которая тяжелее из двух, положенных на чаши весов.

1.2. Три монеты, взятые нами из 5-ти исследуемых, оказались легче трех настоящих (взятых из 8-ми проверенных). В этом случае фальшивка находится среди взятых монет и она легче настоящей монеты.
Далее, как и в предыдущем случае, откладываем одну из трех монет в сторону, а две взвешиваем. Если чаши весов уравновешены, то это свидетельствует о том, что мы отложили фальшивую. Если монеты на весах имеют разный вес, то та, которая легче и есть фальшивая.

1.3. Три монеты, взятые нами из 5-ти исследуемых и три настоящих (взятых из 8-ми проверенных) оказались одинакового веса. В этом случае очередные три монеты оказались настоящими, а фальшивая осталась среди двух монет, которые мы еще не взвешивали. Чтобы определить которая из них является фальшивой, для третьего взвешивания возьмем одну из этих двух монет и любую настоящую (из 11-ти проверенных). Если весы уравновешены, то фальшивая монета так, которую мы оставили, если нет, то та, которую мы положили на весы.

2. Весы после первого взвешивания не уравновешены и первые группы по 4 монеты имеют разный вес. В этом случае нам тоже повезло, так как мы знаем, что фальшивая монета находится среди 8-ми монет на весах, и мы имеет 5 настоящих монет, которые остались не на весах.
Для удобства дальнейшего изложения, без уменьшения общности, будем считать, что левая чаша весов оказалась легче, а правая тяжелее (поворот весов на 180 градусов нельзя считать новым взвешиванием).Проделаем с монетами на весах следующее:

  • с левой чаши снимем одну монету и отложим влево;
  • две монеты с правой чаши переложим на левую. Очевидно, что следует запомнить какие именно монеты мы перекладывали, например, положим их сверху;
  • остальные две монеты с правой чаши отложим в другую сторону (вправо);
  • на правую чашу положим 5 монет, не принимавших участия в первом взвешивании. Мы уже знаем что они настоящие.

Таким образом получим второе взвешивание по 5 монет на каждой чаше. Его возможные исходы:

2.1. Чаши весов уравновешены. Тогда все 10 монет на весах настоящие, а фальшивая находится среди трех отложенных: одна слева и левой чаши (которая была легче) и две справа из правой части (тяжелее). Для третьего взвешивания берем обе монеты, выложенные из правой части:

2.1.1. Отложенные из правой чаши монеты одинакового веса. Следовательно, фальшивкой оказалась монета, отложенная из левой чаши.

2.1.2. Отложенные из правой чаши монеты разного веса. Следовательно, одна из них фальшива, но обе монеты при втором взвешивании были на правой чаше, которая оказалась тяжелее, значит фальшивая монета тяжелее остальных. В этом случае фальшивая монета та, которая оказалась на весах тяжелее при третьем взвешивании.

2.2. При втором взвешивании левая чаша весов осталась легче (как и при первом). Значит фальшивая монета осталась на левой чаше среди трех, которые мы оставили на ней после первого взвешивания. Можно утверждать, что фальшивка легче настоящей монеты, так как на правой чаше у нас настоящие монеты. Берем три монеты которые оставались на левой чаше при обеих взвешиваниях. Две из  этих монет кладем на разные чаши весов, если одна из них легче, то она фальшива, если же они одинаковы, то фальшива монета, оставшаяся из этих трех.

2.3. Наконец, если при втором взвешивании левая чаша оказалась тяжелее, то, во-первых, фальшивка тяжелее остальных, во-вторых, мы переложили ее из правой чаши (в первом взвешивании правая чаша оказалась тяжелее). В этом случае достаточно взвесить две монеты, которые мы перекладывали из правой чаши в левую после первого взвешивания. Которая из них окажется тяжелее – та и есть фальшивка.

author: 
admin
Просмотров: 
2 099
Раздел: