Вы здесь

Задачи 566-570

Undefined

566. В трапецию с углами у основания α и β вписан круг. Найти отношение площади трапеции к площади круга.

Решение. Без уменьшения общности можно считать, что углы α и β острые и прилегают к одному и тому же основанию (см. рисунок). В приведенном ниже решении используются величины sin α и sin β, для которых sin(180o - α) = sin α и sin(180o - β) = sin β. Следовательно, если какой-нибудь из этих углов тупой, то в решении можно рассматривать противоположный ему острый угол, прилегающий к той же боковой стороне. При этом полученный результат не изменится.

Для решения задачи воспользуемся тем фактом, что радиусы вписанной в трапецию окружности, проведенные в точки касания с основаниями образуют высоту трапеции. Действительно, радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен к касательной - в нашем случае ONAB, OKCD (см. рисунок). Но так как основания трапеции параллельны, то OKAB из чего следует, что OK||ON, но эти отрезки имеют общую точку, значит лежат на одной прямой. Эта прямая перпендикулярна к основаниям трапеции, значит KN - высота трапеции. Обозначив r радиус вписанной в трапецию окружности, получим h=KN=OK + ON = r+ r =2r.

Проведенная из вершины D высота трапеции отсекает от нее прямоугольный треугольник из которого найдем боковую сторону Аналогичным образом можно определить вторую боковою сторону

Запишем формулу площади трапеции Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных его сторон равны, следовательно, тогда Учитывая, что площадь круга радиуса r равна получим искомое отношение

Ответ.

567. Круг вписан в правильный шестиугольник со стороной . Найти площадь круга.

Решение. Воспользуемся следующими известными фактами: во-первых, в правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают; во-вторых в правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне.

Рассмотрим сторону AB правильного шестиугольника ABCDEF (см. рисунок), О - центр описанной и вписанной окружностей. Проведем радиусы ОА и ОВ, так как они равны стороне шестиугольника, то получим равносторонний треугольник АВО, в котором радиус вписанной окружности ОN является высотой и медианой - ONAB, AN=BN=0,5AB. Учитывая, что по условию и применив к прямоугольному треугольнику ONA теорему Пифагора найдем Подставив последнее выражение в формулу площади круга, получим

Ответ. 9.

568. Около правильного восьмиугольника описана окружность, в этот же восьмиугольник вписана еще одна окружность. Площадь образованного между двумя окружностями кольца равна S. Вычислить длину стороны восьмиугольника, если S = 36 π .

Решение. Ввиду того, что в любом правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают, его сторона вместе с радиусами, проведенными к ее концам, образует равнобедренный треугольник, в котором радиус вписанной окружности является высотой, проведенной к основанию. На рисунке: АВ - сторона некоторого правильного многоугольника (восьмиугольника в случае этой задачи); ОА=ОВ=R - радиусы описанной окружности; ON=r - радиус вписанной в многоугольник окружности, который является высотой, проведенной к основанию равнобедренного треугольника АОВ, т.е. кроме того является его медианой (AN=BN=0,5AB) и биссектрисой.

Рассмотрим площадь, заданного в условии задачи кольца. По известным радиусам R и r вписанной и описанной окружности ее можно вычислить как разность площадей двух кругов: S=π R2 - π r2 = π(R2 - r2). Учитывая заданную в условии площадь, найдем R2 - r2 = 36, но геометрически (см. рисунок) величина R2 - r2 является квадратом половины стороны нашего многоугольника. Действительно, применяя к прямоугольному треугольнику ONA теорему Пифагора получим AN2 =OA2 - ON2 = R2 - r2. Так как AN2 = 36, то AN = 6, а АВ = 2AN = 12.

Ответ. 12.

569. Вычислить площадь кругового сегмента круга радиуса R = 10 см, стягиваемого хордой 10 см.

Решение. Эту задачу можно решить без применения специальных формул для площади сегмента так как несложно убедиться, что треугольник образованный двумя радиусами длины 10 см и хордой 10 см является равнобедренным прямоугольным треугольником (доказать это можно, например, с помощью теоремы косинусов). Тогда искомую площадь сегмента можно получить как разность площади соответствующего сектора, который является четвертью круга так как образующие его радиусы перпендикулярны, и упомянутого прямоугольного треугольника. Имеем: площадь круга So=π R2 = 100 π см2, площадь сектора Ss=0,25 So= 25 π см2, площадь треугольника St= 0,5 R2 = 50 см2, площадь сегмента S = Ss - St= 25 π - 50 см2.

Ответ. 25 π - 50 см2.

570. В правильный треугольник площадью S, вписана окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Найти площадь этого шестиугольника, если S = 20.

Решение. По формуле площади правильного треугольника найдем По формуле радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник получим Так как окружность для правильного шестиугольника является описанной, то его сторона равна ее радиусу (a=r). По формуле площади правильного шестиугольника находим S = 10.

Ответ. 10.

author: 
Admin
Просмотров: 
909
Категория: 
Раздел: