Вы здесь

Задачи 556 - 560

Undefined

556. Площадь правильного треугольника S = 24. Найти площадь треугольника, с вершинами в центре данного треугольника и серединах двух из его сторон.

Решение. Пускай АВС - заданный правильный треугольник, точка О - его центр, т.е. точка пересечения его медиан АК, BN и СМ, являющихся также, высотами и биссектрисами. Будем искать площадь треугольника МОК - одного из трех треугольников, образованных центром треугольника АВС и серединами его сторон(см. рисунок).

Сторона МК треугольника МОК является средней линией треугольника АВС, следовательно МК=0,5АС. Обозначим Р точку пересечения высоты BN с отрезком МК, несложно доказать, что ОР является высотой треугольника МОК (поскольку МК||АС). Так как МК средняя линия треугольника АВС, то точка Р является серединой высоты BN, с другой стороны, отрезок ОN равен одной трети BN, по свойству точки пересечения медиан. Имеем: Следовательно,

Ответ.2.

557. Центральный угол на 50o больше вписанного угла. Сколько градусов имеет дуга.

Решение. По свойству вписанных углов соответствующий центральный угол вдвое больше вписанного, т.е. если вписанный угол равен α, то центральный - 2α. По условию задачи 2α-α=50o, откуда вписанный угол α=50o, а центральный равен, соответственно 100o. Градусная мера дуги равна соответствующему центральному углу, т. е.

Ответ. 100o.

Любопытно, что понятие градусы встречается не только в геометрии в качестве единиц измерения углов и дуг. Например, в такой трендовой области современной науки как управление персоналом есть эффективный метод именуемый "360 градусов". Этот метод позволяет оценить отношение сотрудников компании к исполняемой работе, коллегам, руководству и клиентам, на основе которой и строить эффективные стратегии развития бизнеса. Источник: rucubes.com.

558. Расстояние от центра окружности к хорде равно и вдвое меньше радиуса. Найти длину хорды.

Решение. Из условия задачи следует, что радиус окружности равен Пара радиусов ОА и ОВ, проведенных к концам хорды АВ, образуют вместе с этой хордой равнобедренный треугольник АОВ, в котором расстояние от О до АВ равно длине высоты ОР, которая является медианой, откуда АР=ВР. Из прямоугольного треугольника АРО по теореме Пифагора находим длину половины хорды Значит вся хорда равна АВ=2АР=15.

Ответ. 15.

559. С одной точки окружности проведены две хорды длины 10 см и 12 см . Найти радиус окружности, если расстояние от средины меньшей хорды к большей равно 4 см.

Решение. Пускай из точки А на окружности с центром О проведены хорды АС=10 см и АВ=12 см (см. рисунок). Обозначим М середину хорды АС (АМ=МС=5см) и проведем перпендикуляр МК из М к хорде АВ, по условию задачи МК = 4см. Из прямоугольного треугольника АМК по теореме Пифагора можно получить АК = 3 см.

Рассмотрим точку Р - середину хорды АВ. АР = 6 см, следовательно, точка К является серединой отрезка АР. Точка М, в свою очередь является серединой отрезка АС. Поэтому, если рассматривать треугольник АРС, то МК является его средней линией и СР||МК, т.е. СР тоже является перпендикуляром к хорде АВ и СР=2МК= 8 см. Прямая СР проходящая через середину хорды АВ и перпендикулярная к этой хорде (по соответствующему свойству) содержит диаметр окружности, а значит и его центр - точку О.

Обозначим через R радиус окружности, тогда ОА=ОС=R, а отрезок ОР=СР-ОС=8-R (см). Из прямоугольного треугольника АРО по теореме Пифагора получим:
AO2=AP2+OP2,
R2=62+(8-R)2,
R2=36+64-16R+R2,
Откуда 16R=100 и R=6,25 см.

Ответ. 6,25 см.

560. Во сколько раз радиус описанной окружности правильного треугольника больше радиуса вписанной окружности.

Решение. Как известно, радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной а, можно вычислить по формуле Радиус описанной окружности для этого же треугольника т.е. вдвое больше.

Ответ. 2.

author: 
admin
Просмотров: 
1 345
Категория: 
Раздел: