Вы здесь

Задачи 561-565

Undefined

561. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания окружности к гипотенузе делит ее на отрезки 5 см и 8 см. Найти радиус окружности.

Решение. Пускай АВС - заданный прямоугольный треугольник, вписанная окружность касается к гипотенузе АВ  в точке Е, к катетам АС и ВС в точках Н и К соответственно (см. рисунок). По условию АЕ = 5 см, ВЕ = 8 см, следовательно гипотенуза АВ = АЕ + ВЕ = 5 + 8 = 13 (см). По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки вне ее найдем АН = АЕ = 5 см, ВК = ВЕ = 8 см, кроме того СН = СК.

Проведем из центра О окружности радиусы ОН и ОК. Несложно убедиться, что четырехугольник ОНСК является квадратом. Во первых, С прямой, а радиусы, проведенные в точку касания перпендикулярны к касательным, значит и угол НОК = 360o - 90o - 90o - 90o = 90o. Во вторых, в прямоугольнике ОНСК соседние стороны попарно равны (ОР = ОК и СР = СК), следовательно он является квадратом. Обозначив радиус окружности r, получим СР = СК = ОК = r. Тогда катеты заданного треугольника AС = AH + CH = 5 + r (см), BС = ВК + СК = 8 + r (см).

 

Применив к треугольнику АВС теорему Пифагора, получим уравнение для нахождения r:
(5 + r)2 + (8 + r)2 = 132,
2r2 + 26r - 80 =0,
r2 + 13r - 40 =0, решив которое, получим и , но так как радиус не бывает орицательным, то ответ

 

Ответ..

562. Треугольник ABC – равносторонний, AB = 12. Точки P, S, R –средины сторон AB, BC и AC соответственно. Определить радиус окружности, проходящей через эти точки.

Решение. Как известно, в равностороннем треугольнике медианы равны между собой и совпадают с его высотами и биссектрисами. Пускай в треугольнике ABC медианы СP, АS и ВR пересекаются в точке О. По свойству медианы отрезки ОP, ОS и ОR равны трети соответствующих медиан, но так как в равностороннем треугольнике медианы равны, то и ОP=ОS=ОR, следовательно точка О равноудалена от точек P, S, R и является центром окружности проведенной через эти точки (см. рисунок). Так как медианы в равностороннем треугольнике являются высотами, то ОPАВ, ОSВС и ОRАС, что ввиду свойства радиуса проведенного в точку касания доказывает, что стороны треугольника являются касательными к рассматриваемой окружности. Следовательно, окружность, проходящая через точки P, S, R, является окружностью, вписанной в треугольник ABC. Как известно, радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности вычисляется по формуле В нашем случае a=12 и

Ответ.

563. Вычислить площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60o.

Решение. Рассмотрим заданную равнобедренную трапецию АВСD (см. рисунок). Опустим из концов меньшего основания ВС высоты ВЕ и СК. По условию задачи ВЕ=СК=h, и центральный угол COD, где О - центр описанной около трапеции окружности составляет 60o.

Так как трапеция равнобедренная, то (как несложно убедиться) высоты ВЕ и СК отсекают от нее равные прямоугольные треугольники ABЕ и DСК, откуда имеем АЕ=DК, и образуют прямоугольник ЕВСК, откуда ЕК= ВС. Полученные равенства отрезков позволяют доказать, что длина отрезка АК равна полусумме оснований трапеции. Действительно, 0,5(AD + ВС) = 0,5(AЕ + ЕК + КD + ЕК) = 0,5(AЕ + ЕК + AЕ + ЕК) = 0,5(AК + АК) = АК. Последнее равенство и формула площади трапеции позволят нам утверждать, что SABCD = AK * CК.

Рассмотрим угол CАD. Он является вписанным углом, опирающимся на хорду CD, и по свойству вписанных в окружность равен половине соответствующего центрального угла COD=60o, т.е. составляет 30o. Далее из прямоугольного треугольника АКС, в котором СК=h и CАК=30o найдем АК= СК*ctg 30o = h√3, и, соответственно, SABCD = AK * CК = h * h√3 = h2√3.

Ответ. h2√3.

564. Разность площадей круга и вписанного в него квадрата равна . Найти площадь правильного шестиугольника, вписанного в этот круг.

Решение. Пускай радиус окружности равен R, тогда площадь круга равна . Так как центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей вписанного квадрата, то диагональ квадрата является диаметром окружности и равна 2R. Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику образованному соседними сторонами квадрата и диагональю найдем сторону квадрата: а= R√2. Следовательно, площадь квадрата равна  , а разность площадей круга и квадрата а по условию она составляет откуда

Как известно, радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника равен его стороне, а радиусы проведенные к вершинам шестиугольника разделяют его на 6 правильных треугольников со стороной R. C помощью этих треугольников площадь шестиугольника можно представить виде: то есть, в нашем случае  

Ответ. 9.

Еще несколько вписанных или описанных многоугольников в условии этой задачи и нам бы в пору искать учебные материалы не по математике, а по медицине. Шутка конечно, но как говориться, в каждой шутке... Эта шутка к тому, что нами случайно обнаружен неплохой ресурс http://med.gn24.net с учебными материалами для студентов медицинских вузов.

565. Две вершины квадрата лежат на окружности, а две другие – на касательной к этой окружности. Вычислить радиус окружности, если сторона квадрата равна 8.

Решение. Пускай ABCD - заданный квадрат со стороной 8, его вершины A и D лежат на заданной окружности, а сторона ВС касается окружности в точке К (см. рисунок). Несложно доказать, что К является серединой стороны ВС. Действительно, радиус ОК, проведенный в точку касания перпендикулярен к стороне ВС, прямая KN, содержащая этот радиус перпендикулярна к противоположной стороне квадрата AD, та же прямая будет содержать высоту ON равнобедренного треугольника AOD, а эта высота является серединным перпендикуляром к AD, следовательно и к ВС. Используя теорему Пифагора найдем

Так как мы уже случайно нашли стороны треугольника AKD, вписанного в заданную окружность, то воспользуемся формулой Площадь треугольника  AKD, очевидно, равна половине площади квадрата, т. е. и  

Ответ. 5.

author: 
Admin
Просмотров: 
653
Категория: 
Раздел: