Вы здесь

Задачи 839-850

Undefined

Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:

Эти задачи адресованы тем, кто собрался потренироваться
решать задачи по вышке, точнее по ее разделу "Интегральное исчисление".
Конечно-же этот материал присутствует и в школьной программе, за рамки которой не выходят задачи, решения которых представленные в этой части нашего сборника.
Но студентам, изучающим высшую математику мы рекомендуем этот материал в качестве начальной ступени к освоению упомянутого раздела.

Решения:

839. Несложно определить, что парабола y = x3 пересекает прямую y = 1 в точке (1; 1) , а прямую x = 2 - в точке (2; 8) (см. рисунок). Следовательно заданная фигура есть криволинейная трапеция, определенная на отрезке [1; 2] и ограниченная линиями y = 3 сверху, а y = 1 - снизу.
Следовательно, ее площадь вычисляется интегралом:

 

 

 

 

840. По рисунку несложно установить, что заданная фигура является криволинейной трапецией ограниченной на отрезке осью абсцисс и графиком функции y = cos x. Ее площадь равна интегралу:

841. Составим уравнение из правых частей уравнений заданных линий:

Из этого уравнения найдем абсциссы точек пересечения заданных линий:
x1 = 0 и x2 = 1.
Найдем соответствующие им значения y и построим эскиз графиков заданных функций (см. рисунок).
По рисунку определяем, что площадь искомой фигуры можно получить с помощью интеграла:

842. Первое уравнение задает параболу, обращенную ветвями вниз с вершиной в точке (1, 1), проходящую через (0, 0) и (2, 0), второе - горизонтальную прямую, проходящую на высоте 3/4 = 0,75 единицы над осью Ох. Из квадратного уравнения
2x - x2 = 0,75
найдем абсциссы точек пересечения заданных линий:
x1 = 0,5 и x2 = 1,5,
которые следует указать в качестве пределов для определенного интеграла, с помощью которого находится площадь искомой фигуры:

843. Известно, что парабола y = x4 и прямая y = x, пересекаются при х = 0 в точке (0, 0) и при х = 1 в точке (1, 1). При этом на промежутке (0; 1) выполняется неравенство x44 проходит ниже прямой y = x, поэтому площадь искомой фигуры равна значению определенного интеграла:

844. Так как линия y = 0 - это ось Ох, то в этой задаче имеем дело с обычной криволинейной трапецией, ограниченной на отрезке [0,5; 1,5] ветвью гиперболы . Ее площадь:

845. Первая функция определяет гиперболу, ветви которой проходят в первой и третей координатных четвертях, вторая - прямую которая пересекает координатные оси в точках (0; 6) и (6; 0) (см. рисунок). Составим уравнение из выражений, задающих указанные функции:


откуда при x0 получим квадратное уравнение

x2 - 6x + 5 = 0,

из которого найдем абсциссы точек пересечения заданных линий: x1 = 1, x2 = 5. На промежутке (1; 5) заданная прямая y = 6 - x проходит выше ветви параболы, следовательно, площадь образованной фигуры можно вычислить при помощи определенного интеграла:

846. Очевидно, что при х = 2 парабола y = x2 и показательная функция y = 2х имеют общую точку (2, 4). Действительно, если x = 2, то x2 = 22 = 2х. При этом на отрезке [0; 2] график функции y = 2х расположен выше параболы y = x2, следовательно искомая площадь:

847. По аналогии с задачей 842 (см. рисунок к задаче 842) из квадратного уравнения
4x - x2 = 3
найдем абсциссы точек пересечения заданных линий:
x1 = 1 и x2 = 3
которые следует указать в качестве пределов для определенного интеграла, с помощью которого находится площадь искомой фигуры:

848. Как и в задаче 845 имеем дело с пересечением гиперболы наклонной прямой в первой координатной четверти (см. рисунок к задаче 845). Аналогично к решению задачи 845 находим абсциссы точек пересечения из уравнения:


откуда при x0 получим кубическое уравнение

4x3 - 13x2 + 9 = 0,

имеющее корни x1 = -0,75, x2 = 1 и x3 = 3. В точке (-0,75, 10) прямая y = 13 - 4x пересекая вторую ветвь гиперболы не образует замкнутой области, следовательно, будем рассматривать только пересечение заданных линий при x = 1 и x = 3. На этом отрезке прямая проходит выше ветви параболы, следовательно, площадь образованной фигуры можно вычислить при помощи определенного интеграла:

849. Какой путь пройдет точка за отрезок времени от t1 = 1 до t2 = 4, двигаясь прямолинейно со скоростью v(t) = 2t2 + 3t ( t – в секундах, v – в м/с)? Определить ускорение точки в момент времени t = 2.

Решение. Как известно, скорость точки, как функция от времени t является производной от пройденного точкой пути (как функции от t). В свою очередь закон изменения расстояния S(t) (пути) является первообразной от закона изменения скорости v(t). Следовательно, расстояние которое пройдет точка за отрезок времени от t1 = 1 до t2 = 4 рассчитывается с помощью интеграла:

С другой стороны, ускорение точки является производной от ее скорости, в нашем случае a(t) = v'(t) = 4t + 3, и в момент времени t = 2 оно равно a(2) =11 м/с2.

850. Тело движется прямолинейно со скоростью ( t – в секундах, v  – в м/с). Определить путь, пройденный телом за первых 7 секунд. Чему равно ускорение тела в момент времени t = 7?

Решение. Закон изменения расстояния S(t) (пути) является первообразной от закона изменения скорости v(t). Следовательно, расстояние которое пройдет тело за первые семь секунд равно интегралу:

Ускорение же является производной от скорости и в нашем случае подчинено закону:

что в момент времени t = 7 составит a(7) = 0,25 м/с2.

author: 
admin
Просмотров: 
150
Раздел: