Вы здесь

Задачи 851-865

Undefined

851. Сколько существует способов разместить две ладьи на шахматной доске, так, чтобы они не смогли сбить друг друга?

Решение. Заметим, что возможность сбить друг друга у ладей "взаимная", т. е. если первая ладья сможет сбить вторую, то вторая сможет сбить первую, и наоборот. Одну ладью можно поставить на любую из 64-х клеток шахматной доски (64 способа). При этом 1 клетка будет занята а еще 14 окажутся под боем - 7 на вертикали и 7 на горизонтали. Следовательно, для второй ладьи останется 64 - (1+7+7) = 49 мест (49 способов поставить вторую ладью). Для каждого из 64 способов разместить одну ладью существует 49 спобов разместить вторую, значит разместить две ладьи можно 64· 49 = 3136 способами.

Ответ. 3136.

852. В расписании 7-А класса на четверг могут произойти следующие изменения:
1) на 5-м уроке вместо урока труда может быть русский язык, русская литература, история или география;
2) на 6-м уроке вместо урока труда может быть история, география, физика, биология или черчение.
Сколько существует возможных вариантов расписания уроков для 7-А на четверг?

Решение. Заменить 5-й урок, по условию задачи, можно 4-мя способами, при этом для любого предмета на 5-ом уроке существует 5 способов заменить 6-й урок. Следовательно, заменить оба урока можно 4· 5 = 20 способами.

Ответ. 20.

853. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга. Определить какое количество матчей необходимо провести, чтобы каждая команда сыграла с каждой ровно два раза.

Решение. Каждая из 16 команд должна сыграть по одному матчу с каждой из оставшихся 15 команд. То есть, 16 команд проведут по 15 матчей, всего 16· 15 = 240 матчей. При таком подсчете матч некоторой команды N с командой M учитывается среди 15 матчей команды N, но ответный матч команды M с командой N учтен среди 15 матчей команды M, следовательно, каждая пара команд встретится дважды.

Ответ. 240.

854. Сколько двенадцатизначных чисел можно составить из цифр 1, 2 та 3 так, чтобы каждые две соседние цифры отличались ровно на единицу?

Решение. Так как соседние цифри числа должны отличаться ровно на 1, то цифры 1 и 3 не могут быть соседними. То есть после цифры 1 обязательно должна следовать цифра 2, и после цифры 3 - тоже только цифра 2. Следовательно, все такие 12-цифровые числа можно разделить на две группы:
1. числа, начинающиеся с 1 или 3 и содержашие на четных позициях только цифру 2, а на нечетных либо 1 либо 3,
2. числа, начинающиеся с 2 и содержашие на четных позициях только цифру 2, а на нечетных либо 1 либо 3.
Все числа из первой группы образуются из шести двоек на четных позициях, размещением на шести нечетных позициях 1 либо 3. Таких чисел получится 2· 2· 2· 2· 2· 2 = 26 = 64, так как на каждой из шести нечетных позиций может оказаться либо 1 либо 3. Аналогично получим 26 = 64 числа, начинающихся с 2. Всего 64 + 64 = 128 чисел.

Ответ. 128.

855. По дороге домой Петя должен зайти в супермаркет. Из школы к супермаркету ведет 4 дороги, а от супермаркета домой можно пройти по трем различным улицам. Сколько вариантов маршрута из школы домой имеет Петя?

Решение. Если Петя пройдет к супермаркету по первой дороге, то у него останется 3 варианта маршрута, так как от супермаркета домой можно пройти по трем различным улицам. Аналогично идя в супермаркет по второй Петя имеет три варианта маршрута домой, как, впрочем, и идя по третьей или четвертой. Всего получим 3+3+3+3 = 4· 3 = 12 различных маршрутов.

Ответ. 12.

856. В кассе вокзала на поезд № 91 осталось 5 купейных билетов и 8 плацкартных. Сколько способов купить билеты для компании из 4 человек (места имеют значение)?

Решение. Всего в кассе имеется 5+8=13 билетов. Первый билет можно купить 13-ю способами, останется 12 билетов. Значит, следующий билет можно купить 12-ю способами, третий - 11-ю способами, четвертый - 10-ю. Следовательно, все четыре билета можно купить 13· 12· 11· 10 = 17160 способами.

Ответ. 17160.

857. В шахматном турнире участвуют 23 шахматиста. Определить какое количество партий необходимо провести, чтобы каждый сыграл с каждым дважды.

Решение. Каждый из 23 участников должен сыграть по одной партии с каждым из 22 остальных. При этом партий с участием шахматиста N и шахматиста M окажется именно две: с одной стороны среди 22-х партий участника N, с другой стороны среди 22-х партий участника M. Следовательно необходимо провести 23· 22 = 506 партий.

Ответ. 506.

858. Две ладьи находятся на шахматной доске так, что каждая из них может сбить другую. Сколько таких размещений?

Решение.Одну ладью можно поставить на любую из 64-х клеток шахматной доски (64 способа). Тогда, для того, чтобы ладьи смогли сбить друг друга, вторую ладью следует разместить на одной из семи свободных клеток вертикали, которую занимает первая ладья, или на одной из семи клеток горизонтали. Имеем 7 + 7 = 14 способов поставить вторую ладью. Для каждого из 64 способов разместить первую ладью существует 14 спобов разместить вторую, значит разместить две ладьи можно 64· 14 = 896 способами.

Ответ. 896.

859. Расписание одного дня учебы состоит из пяти уроков. Определить количество возможных вариантов расписания, если изучается 11 различных предметов и по каждому предмету в день может быть только один урок.

Решение.1 способ. На первый урок можно выбрать один из 11 указанных предметов. Тогда на второй урок можно поставить один из оставшихся 10-ти предметов, поскольку по каждому предмету в день может быть только один урок. Следовательно, существует 11· 10 = 110 вариантов расписания на первых два урока. На третьем уроке может быть один из 9 оставшихся предметов, вариантов расписания на три урока - 11· 10· 9 = 990. На четвертый урок остается один из 8-ми предметов, на пятый - один из 7-ми. Всего вариантов расписания из пяти уроков - 11· 10· 9· 8· 7 = 55440.
2 способ. Расписание из пяти уроков можно представить как таблицу из пяти клеток, в каждую из которых можно вписать один из 11 предметов, причем одинаковых предметов не должно быть. Следовательно, мы имеем дело с таким комбинаторным объектом, как размещение без повторений из 11 элементов по 5. Количество таких размещений вычисляется по формуле

Ответ. 55440.

860. Иногда номера трамваев обозначают двумя цветными фонариками. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, используя фонари восьми различных цветов.

Решение. Первый фонарь может иметь один из восьми различных цветов, при этом к каждому цвету можно добавить второй фонарь одного из восьми имеющихся цветов. Следовательно, всего можно иметь 8· 8 = 64 обозначений.

Ответ. 64.

861. Замок открывается, если правильно набран определенный трехзначный код, который составлен из пяти различных цифр. Попытка состоит в наборе трех цифр наугад, без повторения набранных ранее комбинаций. Открыть замок удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько неудачных попыток было до этого?

Решение. Первой цифрой кода может оказаться одна из 5-ти цифр, из которых составлялся код. Второй - тоже любая цифра из этих 5-ти цифр, так же, как и третьей. Всего можно составить 5· 5· 5 = 125 всевозможных трезначных кодов. Значит, и всевозможных попыток набрать код может быть 125, так как коды при наборе не повторяют. Последняя, 125-я попытка была удачной, следовательно, неудачных попыток было 125 - 1 = 124.

Ответ. 124.

862. Команда, которая состоит из 15 спортсменов, выдвигает 4 участника эстафеты 800м. + 400м. + 200м. +100м. Сколько существует способов такого выбора?

Решение. Очевидно, на каждый из 4 участков эстафеты выставляют различных спортсменов. На первый участок можно выбрать любого из 15 членов комады, на второй - любого из оставшихся 14, на третий - одного из 13, на четвертый - одного из 12. Всего 15· 14· 13· 12 = 32760.

Ответ. 32760.

863. Команда, состоящая из пяти человек, участвует в соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколько существует способов распределения мест, занятых спортсменами этой команды?

Решение. Всего в соревнованиях участвуют 5 + 20 = 25 спортсменов, следовательно, в итоге соревнований каждый из них займет одно из 25-ти мест. При этом каждый из пяти членов нашей команды займет свое определенной место, одно из 25 - имеем размещение без повторений из 25 элементов по 5. Количество таких размещений

Ответ. 6375600.

864. Из 12 резервных троллейбусов в троллейбусном парке нужно выпустить на линию по одному дополнительному троллейбусу на каждый из 7 маршрутов. Сколько существует способов это сделать?

Решение. Каждому их 7 маршрутов следует выделить один из 12 имеющихся троллейбусов. Имеем размещение из 12 элементов по 7 без повторения. Без повторения, так как один троллейбус нельзя выпустить на два маршрута одновременно. Количество таких размещений:

Ответ. 3991680.

865. Команда из трех человек участвует в соревнованиях по биатлону, в которых участвуют еще 27 спортсменов. Сколько существует способов распределения мест, занятых спортсменами команды?

Решение. Всего участников соревнований 27 + 3 = 30, следовательно они займут 30 мест с 1-го по 30-е. Если рассматривать места членов команды по очереди, то первый из них может занимать любое из 30 мест, второй - любое из 29, так как одно занято первым, третий - любое из 28, оставшихся после первых двух. Всего способов распределения мест 30· 29· 28 = 17550.
Или (см. решение задачи 863).

Ответ. 17550.

Вернуться в задачник

author: 
Admin
Просмотров: 
2 323
Раздел: