Вы здесь

Задачи 866-880

Undefined

866. Сколько существует способов распределить компанию из восьми друзей по местам двух купе поезда?

Решение.Так как в двух купе поезда восемь мест, столько, сколько и пассажиров, то различные способы их размещения получаются перестановкой (пересаживанием) пассажиров. Число способов размещения 8 пассажиров на 8 местах равно количеству перестановок из 8-ми элементов P8 = 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40160.

Ответ. 40160.

867. Сколько существует способов рассадить 18 учеников 11-А за девятью партами физического кабинета (по 2 за парту)?

Решение. Искомое количество равно количеству размещений без повторения из 18 элементов по 18, что совпадает с количеством перестановок из 18 различных элементов P8 = 18! = 6402373705728000.

Ответ. 18!.

868. Сколько способов выбрать 3-х дежурных из класса, в котором 20 учеников?

Решение. Для выбора дежурных следует произвести неупорядоченную выборку трех учеников из двадцати, то есть сочетание из 20 по 3. Количество таких сочетаний вычисляется по формуле

Ответ.

Ответ. 1140.

869. Сколько различных звукосочетаний можно взять на 10 клавишах рояля, если каждое звукосочетание может включать в себя от 3 до 10 звуков?

Решение. Выбор трех нот из десяти является сочетанием по три элемента из десяти. Количество таких сочетаний обозначают Столько же существует звукосочетаний из семи нот, так как  Звукосочетаний из 4 звуков, так же как и из шести звуков, По 5 звуков - по 8 - и 10 звукосочетаний по 9 звуков, плюс одно по 10. Всего получим 120+210+252+210+120+45+10+1=968 звукосочетаний.

Ответ. 968.

870. С понедельника по пятницу Оля посещает дополнительные занятия по физике, математике, химии, русскому и английскому языках (по одному предмету в день). Сколько у Оли способов составить расписание дополнительных занятий на неделю?

Решение.  Оле придется распределить 5 предметов на 5 дней, что с точки зрения комбинаторики является размещением из 5 элементов по 5. С другой стороны, все 5 дней должны быть заняты каким-нибудь предметом, следовательно, одно расписание получается из другого перестановкой предметов между собоой. Тогда количество различных расписаний равно количеству перестановок из пяти элементов: P5 = 5! = 120.

Ответ. 120.

871. Сколько существует способов трижды посетить бассейн в течение двух недель (по одному разу в день)?

Решение. Для трех посещений бассейна следует выбрать по одному из четырнадцати дней недели, причем порядок выбора дней не существенен, так как они все-равно будут наступать в календарном порядке. Следовательно речь идет о сочетании из 14 элементов по 3. Количество таких сочетаний C314 = 14!/(11!*3!)=14*13*12/6=364.

Ответ. 364.

872. У Коли есть 10 различных марок а у Пети - 12. Сколькими способами мольчики смогут обменяться двумя марками?

Решение. У Коли есть возможность выбрать для обмена C210 пар марок. При этом на каждою выбранную Колей пару Петя сможет предложить любой из имеющихся у него C212 наборов по две марки. По правилу произведения общее количество способов равно C210*C212 = 10!/(8!*2!)*12!/(10!*2!) = 10*9/2*12*11/2 = 2970 способов.

Ответ. 2970.

Решить уравнения (873 – 875):

873.

Решение. Применив формулы количества размещений количества сочетаний получим уравнение:





Разделив обе части уравнения на 24 и применив основное свойство пропорции получим:
23(x-2)(x-3)=24x+24-(x-2)(x-3),
23(x-2)(x-3)+(x-2)(x-3)=24x+24,
24(x-2)(x-3)=24(x+1),
(x-2)(x-3)=x+1,
x2-5x+6-x-1=0,
x2-6x+5=0.
Теорема Виета указывает на то, что последнее квадратное имеет корни 1 и 5. Решение х=1 не удовлетворяет условию задачи, поскольку Akn и Сkn имеют смысл только при неотрицательных значениях n и k.

Ответ.х=5.

874.

Решение. Используя известную формулу количества сочетаний из n элементов по k получим уравнение:

После сокращения соответствующих факториалов получим уравнение:

Так как по условию задачи величина x-2 должна выражаться неотрицательным целым числом, то выражение х-1 отлично от 0 и обе части последнего уравнения можно разделить на х-1. Умножив их при этом на 6 получим:
(x+1)x + 2(x-2)(x-3) = 42.
Упрощение последнего уравнения приводит к квадратному уравнению
3x2-9x-30=0,
x2-3x-10=0,
с корнями -2 и 5. Так как решение х=-2 не удовлетворяет условию задачи, то х=5.

Ответ. х=5.

875.

Решение.  Заметим, что заданное уравнение имеет смысл при любых натуральных значениях х, начиная с 2. Применив формулы и получим уравнение:


разделив обе части которого на x и умножив на 2 получим:
2(x-1)(x-2)+x-1=28,
2x2-5x-25=0.
Решив полученное квадратное уравнение найдем x1=-2,5, x2=5, но, учитывая сделанное в начале решения замечание, получим х=5.

Ответ. 5.

876. Доказать, что при любых n и k сумма является точным квадратом.

Решение. Преобразуем заданное выражение используя формулу   получим:
Т.е. сумма является квадратом суммы n+k.

Ответ.

877. Сумма биномиальных коэффициентов разложения равна 64. Определить слагаемое, не содержащее x.

Решение. 1) Сумма биномиальных коэффициентов разложения (a+b)k равна 2k. Так как 64=26, следовательно по условию задачи 3n = 6, откуда n = 2 и наше разложение принимает вид

2) Слагаемое с номером i = 0,1,...,k в разложении разложения (a+b)k имеет вид т. е. в нашем разложении - Для того, чтобы это слагаемое не содержало х, нужно, чтобы степени х в числителе и знаменателе совпадали. Т.е. с номером i, где 6-i=2i не содержит х, откуда i=2  и искомое слагаемое равно

Ответ. 240.

878. При каком значении x четвертое слагаемое разложения (5 + 2 x)16 больше двух соседних слагаемых.

Решение. Четвертое слагаемое разложения  (5 + 2 x)16 будет иметь вид: . Соседние слагаемые - третье:   и пятое: .

Для того, чтобы четвертое слагаемое было больше третьего, необходимо исполнение неравенства

использовав в котором формулы количества сочетаний и упростив, получим:

Применив к последнему неравенству метод интервалов (см. рисунок), получим его решение:

Аналогично, из условия, что четвертое слагаемого больше пятого, получим неравенство

упрощая его, получим:

Применив метод интервалов (см. рисунок) в этом случає получим:

Общая область полученных интервалов, очевидно, составит

Ответ.

879. Найти наибольший коэффициент разложения (a + b)n, если сума всех коэффициентов составляет 4096.

Решение. Сумму всех биномиальных коэффициентов n-ой степени можно получить, если в разложении (a + b)n положить a = b = 1, она равна (1 + 1)n = 2n. По условию задачи это число составляет 4096, следовательно n = 12. Величина биномиальных коэффициентов возрастает от начала разложения и убывает к концу разложения, т.е. наибольший коэффициент имеет средний член разложения - при n = 12 это седьмое слагаемое разложения. Оно имеет коэффициент

Ответ. 924.

880. Определить если известно, что пятое слагаемое разложения не зависит от x.

Решение. Пятое слагаемое бинома Ньютона имеет вид . В заданном разложении оно будет выглядеть так:

Для того, чтобы это слагаемое не зависело от x, нужно, чтобы степень возле x равнялась нулю, что получится при n=16.

Следовательно, в задаче спрашиваеться число

Ответ. 240.

Вернуться в задачник

Сегодня многие могут возразить зачем, мол, мучаться и решать эти задачи, если в сети можно найти все готовое? Набираешь в поисковике, к примеру, диплом на заказ в тюмени - и получаешь готовую дипломную или курсовую работу. Возражать не станем: способ получения и качество образования - ваш личный выбор.
author: 
Admin
Просмотров: 
1 850
Раздел: