Вы здесь

Задачи 891-900

Undefined

891. Имеются три одинаковые на вид коробки. В первой коробке 10 белых и 5 черных шаров, во второй – 8 белых и 8 черных шаров, а в третей – только черные. Наугад берется коробка, а из нее шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

Решение. Используем формулу полной вероятности. Имеем три гипотезы: H1 - "взяли первую коробку", H2 - "взяли вторую коробку" и H3 - "взяли третью". Все гипотезы равновероятны - P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3. Пускай A - интересующее нас событие, которое состоит в том, что шар оказался белым. Вероятность получить белый шар из первой коробки P(A|H1) = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3, из второй P(A|H2) = 8/(8 + 8) = 1/2, а из третьей P(A|H3) = 0. Используя формулу полной вероятности, получим:
P(A) = P(A|H1)· P(H1) + P(A|H2)· P(H2) + P(A|H3)· P(H3) = (2/3)·(1/3) + 0,5·(1/3) + 0·(1/3) = 7/18.

Ответ. 7/18.

892. В продаже имеются телевизоры трех заводов: 30% телевизоров первого завода, 40% – второго завода, 30% – третьего. Продукция первого завода не содержит невидимого дефекта с вероятностью 0,92, второго завода – с вероятностью 0,87, а третьего – 0,85. Какова вероятность того, что купленный наугад телевизор окажется исправным?

Решение. Используя формулу полной вероятности рассмотрим три гипотезы: H1 - "телевизор изготовлен на первом заводе", H2 - "телевизор изготовлен на втором заводе" и H3 - "телевизор изготовлен на третьем заводе". По условию P(H1) = P(H3) = 30% = 0,3, P(H2) = 40% = 0,4. Событие A - "телевизор оказался исправным" для каждой из гипотез, по условию задачи, имеет следующие условные вероятности: P(A|H1) = 0,92, P(A|H2) = 0,87, P(A|H3) = 0,85. По формуле полной вероятности получим:
P(A) = P(A|H1)· P(H1) + P(A|H2)· P(H2) + P(A|H3)· P(H3) = 0,3·0,92 + 0,4·0,87 + 0,3·0,85 = 0,879.

Ответ. 0,879.

893. Проводятся два независимых выстрела снарядами по цели с вероятностью попадания 0,6 при каждом выстреле. Цель поражается с вероятностью 0,5 при попадании в нее оного снаряда и с полной вероятностью при двух попаданиях. Какова вероятность того, что цель будет уничтожена?

Решение. Обозначим A, событие состоящее в поражении цели. Следует рассматривать три случая (гипотезы):
H1 - "ни один снараяд не попал в цель". Так как вероятность попадания снаряда 0,6 то вероятность промаха  равна 1 - 0,6 = 0,4, а вероятность прмахов двумя снарядами составит P(H1) = 0,4· 0,4 = 0,16, при этом цель не будет поражена, то есть, P(A|H1) = 0;
H2 - "попал только один снаряд", P(H2) = 0,6· 0,4 + 0,4· 0,6 = 0,48, при этом вероятность поражения цели равна 0,5, следовательно P(A|H2) = 0,5;
H3 - "попали оба снаряда", P(H3) = 0,6· 0,6 = 0,36, цель будет поражена с полной вероятностью, что означает P(A|H3) = 1.
Используем формулу полной вероятности (для проверки правильного выбора гипотез подсчитаем сумму P(H1) + P(H2) + P(H3) = 0,16 + 0,48 + 0,36 = 1), получим:
P(A) = P(A|H1)· P(H1) + P(A|H2)· P(H2) + P(A|H3)· P(H3) = 0·0,16 + 0,5·0,48 + 1·0,36 = 0,6.

Ответ. 0,6.

894. Два завода изготовляют одинаковые реактивы, причем 8% пачек первого і 6% второго завода имеют количество примесей, больше допустимого. На складе имеется 200 пачек реактивов первого завода и 300 пачек второго завода. Взятая наугад пачка реактива оказалась нормальной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом заводе?

Решение. Вероятнось взять со склада пачку реактива, изготовленную на первом заводе составляет , а на втором . Реактив, изготовленный на первом заводе окажется нормальным с вероятностью P(A|H1) = 100% - 8% = 92% = 0,92, а на втором - P(A|H2) = 100% - 6% = 94% = 0,94. По формуле полной вероятности находим вероятность того, что взятый со склада реактив окажется нормальным P(A) = P(A|H1)· P(H1) + P(A|H2)· P(H2) = 0,92· 0,4 + 0,96· 0,6 = 0,368 + 0,564 = 0,932. Для нахождения вероятности того, что этот реактив изготовлен на первом заводе испльзуем формулу Байеса:
.

Ответ..

895. Пять раз бросают монету. Какова вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза? Хотя бы 2 раза?

Решение. Вероятность выпадения орла(решки) при многократном подбрасывании монеты вычисляется по формуле Бернулли, где p=0,5, q=1-p=0,5. Вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза:
p5(2) = C52· p2· q5-2 = 10· (0,5)2· (0,5)3 = 0,3125.

Вероятность того, что орел выпадет ровно хотя бы 2 раза найдем через вероятность противоположного события:
p5(m>=2) = 1 - p5(m<2) = 1 - (p5(0) + p5(1)) = 1 - (C50· p0· q5 + C51· p1· q5-1) = 1 - (1· (0,5)0· (0,5)5 + 5· (0,5)0· (0,5)5) = 1 - 0,1875 = 0,8125.представляет собой .

Ответ. 0,3125 и 0,8125.

896. Пять раз бросают игральную кость. Какова вероятность того, что "6" выпадет один раз? Хотя бы один раз?

Решение. Выпадение каждой грани игральной кости считается равновероятным, следовательно, вероятность выпадения числа "6" при одном подбрасывании кости . Вероятность того, что "6" выпадет ровно 1 раз найдем по формуле Бернулли:
.
Событие "число "6" выпадет хотя бы 1 раз" противоположно событию "число "6" не выпадет ни разу", которое имеет вероятность . Следовательно вероятность события "число "6" выпадет хотя бы 1 раз" равна

Ответ. и .

897. В колоде 36 карт. Какова вероятность того, что среди 4-х наугад взятых карт будет ровно 1 туз.

Решение. Существует C436 способов выбрать 4 карты из колоды в 36 карт. Событие A = "среди четырех карт будет ровно 1 туз" состоит в том, чтобы выбрать 1 туз из 4 тузов в колоде, и любые 3 карты из 32 остальных карт, что можно сделать 4· C332 способами. Следовательно, вероятность события A .

Ответ. ≈0,1684.

898. Прибор состоит из пяти узлов. Вероятность выхода из строя для каждого узла 0,2 (узлы выходят из строя независимо один от другого). Найти вероятность того, что ни один узел не выйдет из строя.

Решение. Вероятность того, что каждый из узлов не выйдет из строя равна 1 - 0,2 = 0,8. Вероятность того, что все узлы будуть работать равна (0,8)5 = 0,32768.

Ответ. 0,32768.

899. Студент знает ответы на 40 вопросов из 50 вынесенных на экзамен. Чтобы сдать экзамен ему нужно ответить хотя бы на два вопроса из трех, которые включены в билет. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен?

Решение. Составить из 50 вопросов билеты, по 3 вопроса в одном, существует C350 способов. Из этих билетов C340 будут содержать все 3 вопроса из списка 40 вопросов изученных студентом, а 10· C240 будут содержать 1 вопрос из 10-ти, на которые студент не сможет ответить, но 2 вопроса, на которые он ответит, значит тоже сдаст экзамен. Итак из возможных C350 билетов студент "управится" с C340 + 10· C240 билетами, значит вероятность сдать экзамен составит .

Ответ. ≈0,902.

900. Пять раз бросают по 2 игральные кости. Какова вероятность того, что ровно три рази сумма очков, которые выпадут, будет не меньше 10?

Решение. Для удобства обозначим кости "первая" и "вторая". На певой кости может выпасть одно из шести чисел от 1 до 6 и для каждого из них на второй кости можем получить так же одно из шести чисел: 1, 2,...,6. То есть, существует 6· 6 = 36 равновозможных пар чисел, выпавших на двух игральных костях, среди них сумму очков не меньше 10 будут иметь шесть пар: "4" и "6"; "5" и "5"; "5" и "6"; "6" и "4"; "6" и "5"; "6" и "6". Следовательно искомая вероятность p = 6/36 = 1/6.

Ответ. 1/6.

Вернуться в задачник

Студентам хотелось бы напомнить, что наш ресурс посвящен школьной математике. Поэтому представленные в разделе комбинаторика задачи не выходят за рамки школьной пограммы. Вам же советуем посетить один интересный рейтинг с отзывами о компании Росдиплом и других подобных компаниях, осуществляющих помощь студентам в учебе.

author: 
Admin
Просмотров: 
1 247
Раздел: