Вы здесь

Задачи 916-925

Undefined

916. Сумма цифр двузначного числа равна 6. Произведение этого числа на число, записанное теми же цифрами, только в обратном порядке, равно 1008. Сколько существует таких чисел?

Решение. Обозначим первую цифру числа x, тогда вторая цифра равнеа 6 - x и заданное число запишется как 10x + 6 - x = 9x + 6, а число записанное теми самыми цифрами в обратном поряде 10(6 - x) + x = 60 - 9x. Произведение этих чисел (9x + 6)(60 - 9x) по условию задачи равно 1008, получим уравнение:
(9x + 6)(60 - 9x) = 1008,
3(3x + 2)·3(20 - 3x) = 1008,
(3x + 2)(20 - 3x) = 112,
60x + 40 - 9x2 - 6x = 112,
-9x2 + 54x + 40 = 112,
x2 - 6x + 8 = 0.
Из последнего квадратного уравнения, по теореме Виета найдем x1 = 2, x2 = 4. В первом случае первая цифра числа 2, а вторая 6 - 2 = 4, имеем число 24, а во втором первая цифра 4, а вторая 6 - 4 = 2, имеем число 42.

Ответ. 2 числа: 24 и 42.

Мы придерживаемся мнения, что настоящие математические знания и навыки формируются, в основном, в процессе самостоятельного решения задач. Поэтому не поощряем использование в учебе всевозможных решебников и т. п. И если вы, например, нашли где скачать Учебники ГДЗ онлайн, то советуем пользоваться ими разумно, без злоупотребления. То же касается и представленных тут готовых решений - перед тем как прочесть решение задачи настоятельно рекомендуем попробовать получить его самостоятельно.

917. Найти четырехзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма квадратов крайних цифр равна 13; сумма квадратов средних цифр – 85; если искомое число уменьшить на 1089 то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Решение. Представить 13 в виде суммы квадратов натуральных чисел можно единственным способом: 13 = 9 + 4 = 32 + 22. Так как из искомого числа вычитали четырехзначное число 1089 и получили число, которое начиналось с последней цифры искомого числа, то первая его цифра должна быть 3, а последняя 2. Обозначим вторую и третью цифры искомого числа через x и y, тогда его можно записать в виде суммы 3000 + 100x + 10y + 2, а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке 2000 + 100y + 10x + 3. Согласно условию задачи, эти числа связаны равенством
3000 + 100x + 10y + 2 - 1089 = 2000 + 100y + 10x + 3,
откуда получим 90x = 90y + 90, то есть, x = y + 1. Сумма квадратов цифр x и y по условию составляет 85, получим уравнение:
x2 + y2 = 85,
(y + 1)2 + y2 = 85,
y2 + 2y + 1 + y2 = 85,
2y2 + 2y - 84 = 0,
y2 + y - 42 = 0.
Из последнего квадратного уравнения, по теореме Виета получим y1 + y2 = -1, y1· y2 = -42, следовательно, y1 = -7 (не цифра), y2 = 6. Значит цифра y равна 6, а x = y + 1 = 7 и искомое число 3762.

Ответ. 3762.

918. Задумали положительное целое число. К его записи присоединили справа цифру 7 и с полученного нового числа вычли квадрат задуманного числа. Разность уменьшили на 75% этой разности и снова получили задуманное число. Какое число было задумано.

Решение. Пускай x - задуманное число, присоединение спарава к числу цифры 7 можно представить как умножение числа на 10 и прибавление 7, получим 10x + 7. Вычитая и з полученного чила квадрат задуманного, имеем 10x + 7 - x2. Уменьшить величину на 75% процентов означает получить 100% - 75% = 25% или 0,25 этой величины. То есть, получим (10x + 7 - x2)· 0,25, что по условию равняется задуманному числу. Получим уравнение:
(10x + 7 - x2)· 0,25 = x,
10x + 7 - x2 = 4x,
-x2 + 6x + 7 = 0,
x2 - 6x - 7 = 0.
Применив к полученному квадратному уравнению теорему Виета, найдем x1 = 7, x1 = -1. Так как задумали положительное число, то это число 7.

Ответ. 7.

919. Ученик должен был умножить 72 на двузначное число, в котором число десятков втрое больше числа единиц. Случайно он переставил цифры во втором множителе и получил произведение на 2592 меньше нужного. Каким должен был быть результат умножения?

Решение. Пускай x - число единиц в неизвестном числе, тогда по условию число десятков в этом числе 3x. Само число тогда можно записать как 3x· 10 + x = 31x, а число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, как x· 10 + 3x = 13x. В произведении ученик должен был получить 72· 31x, а получил 72· 13x, что по условию задачи на 2592 меньше. Составим уравнение
72· 31x = 72· 13x + 2592,
72· 31x - 72· 13x = 2592,
72·(31x - 13x)= 2592,
72· 18x = 2592,
18x = 2592:72,
18x = 36,
x = 2.
Число единиц в неизвестном числе равно 2, следовательно число десятков 3· 2 = 6, то есть, следовало умножить 72 на 62 и ученик должен был полуить результат 72· 62 = 4464.

Ответ. 4464.

920. Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше этого числа. Если к числу прибавить 18, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

Решение. Обозначим первую цифру числа x, а вторую y, тогда заданное число запишется как 10x + y, а число записанное теми самыми цифрами в обратном поряде 10y + x. По условию задачи 10x + y + 18 = 10y + x, следовательно, 9x + 18 = 9y и y = x + 2. Из того, что произведение цифр заданного числа в три раза меньше этого числа получим равенство:
3xy = 10x + y
и, соответственно, уравнение:
3x(x + 2) = 10x + x + 2,
3x2 + 6x = 11x + 2,
3x2 - 5x - 2 = 0,
D = (-5)2 - 4· 3 · (-2) = 25 + 24 = 49 = 72, x1 = (5-7)/6 = -1/3 не является цифрой, x1 = (5+7)/6 = 2. Следовательно, y = x + 2 = 2 + 2 = 4  и имеем число 24.

Ответ. 24.

921. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если цифры этого числа поменять местами, то получим число, отношение которого к данному равно 0,375. Найти это число.

Решение. Обозначим первую цифру числа a, а вторую b, тогда само число можно предствить в виде 10a + b, а число записанное теми самыми цифрами в обратном поряде 10b + a. Запишем отношение этих чисел:

Число 10a + b не может равняться 0, тогда можно записать последнее равенство в виде:
10b + a = 0,375(10a + b).
По условию a + b = 9, следовательно b = 9 - a и получим уравнение:
10(9 - a) + a = 0,375(10a + b),
90 - 10a + a = 0,375(10a + 9 - a)
90 - 9a = 0,375(9a + 9),
90 - 9a = 3,375a + 3,375,
86,625= 12,375a,
a = 7, следовательно b = 9 - 7 = 2 и получим число 72.

Ответ. 72.

922. Сумма квадратов цифр двузначного числа составляет 13. Если это число уменьшить на 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.

Решение. Обозначим первую цифру числа a, а вторую b, тогда само число можно предствить в виде 10a + b, а число записанное теми самыми цифрами в обратном поряде 10b + a. По условию число 10a + b на 9 больше числа 10b + a, запишем равенство:
10a + b -9 = 10b + a,
из которого найдем b = a - 1.
Так как сумма кваратов цифр искомого числа равна 13, то получим уравнение
a2 + b2 = a2 + (a - 1)2 = 13, или
2a2  - 2a - 12 = 0,
a2  - a - 6 = 0, откуда
a1 = 3, a2 = -2.
Так как a2 = -2 не является цифрой, то первая цифра искомого числа a = 3, а вторая b = a - 1 = 3 - 1 = 2. Получим число 32. Действительно, 32 - 9 = 23.

Ответ. 32.

923. Масштаб карты равен 1:1600000. Расстояние между Харьковом и Изюмом на карте составляет 18 см. Какое расстояние между этими городами на местности?

Решение. Масштаб карты равен 1:1600000, следовательно 1см на карте изображает расстояние равное  1600000 см = 16000 м = 16 км. Следовательно 18 см на карте обозначают 18· 16 = 288 (км) на местности.

Ответ. 288 км.

924. Расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом, которое составляет 650 км, на карте изображено отрезком 5,2 см. Найти численный масштаб карты.

Решение. Чтобы определить численный масштаб карты следует расстояние по карте разделить на расстояние на местности:
5,2 см : 650 км = 5,2 см : 650 000 м = 5,2 см : 65 000 000 см = 5,2 : 65 000 000.
Разделим обе части полученного отношения на 1,3, получим:
4 : 50 000 000 = 1 : 12 500 000.

Ответ. 1:12500000.

925. Длина минутной стрелки часов равна 2 см, а длина часовой стрелки – 1,5 см. Во сколько раз скорость конца минутной стрелки больше скорости конца часовой?

Решение. За один час конец часовой стрелки опишет полную окружность радиуса 1,5 см, то есть пройдет путь 2π· 1,5 = 3π (см), следовательно, его скорость 3π см/час. За то же время минутная стрелка сделает 60 кругов длины 2π· 2 = 4π (см), то есть, конец минутной стрелки за один пройдет расстояние 60· 4π = 240π (см), и его скорость 240π см/час. Следовательно скорость конца минутной стрелки больше скорости конца часовой в 240π/3π = 80 раз.

Ответ. 80.

Вернуться в задачник

author: 
Admin
Просмотров: 
1 499
Категория: 
Раздел: