Вы здесь

Пробное тестирование 2011 (часть 3)

Undefined

Предыдущие задачи

 

25. На рисунке изображены графики функций f(x) =  x + 3 и . Решите неравенство f(x) g(x).

 

 

А Б В Г Д
{-3}U[0; 3] (-; -3]U[0; +) [-3; 0] {-3}U[0; +) [0; 3]

Решение. Неравенство f(x) g(x) означает, что для одного и того же значения x координата y точки графика функции f(x) должна быть больше или равна координате y точки графика функции g(x). То есть, графически точки графика функции f(x) должны лежать выше соответствующих точек графика функции g(x) (с той же координатой x). На рисунке это имеет место при x0. При этом следует учесть, что функция g(x) определена только на отрезке [-3; 3], который является областью определения неравенства. Следовательно неравенство f(x) g(x) выполняется на отрезке [0; 3].

Ответ: Д ( [0; 3] ).

26. Установите соответствие между функциями (1 - 4) и их графиками (А - Д).

 

Функция

График функции

1. y = sin x

А

2. y = -cos x

Б

3.

В

4. y = cos |x|

Г

Д

Решение.1. График функции y = sin x - всем известная синусоида. Она проходит через начало координат, так как sin 0 = 0, через точку (π/2; 1) , так как sin π/2 = 1 и точку (π; 0) , так как sin π = 0 - рисунок Б. Далее используем элементарные преобразования графиков функций. График функции y = cos x является синусоидой, сдвинутой на π/2 влево, так как для всех x: y = cos x = sin(x + π/2) (см. рисунок А).
2. График функции y = - f(x) получается из графика функции y = f(x) симетрическим отражением относительно оси абсцис. Отразив симетрически график функции y = cos x (рис. А) относительно оси Ox, получим график Д для функции y = - cos x.
3. График функции y = f(x + π/2) получается из графика функции y = f(x) сдвигом влево на π/2 вдоль оси абсцис. Сдвинув влево на π/2 вдоль оси абсцис график функции y = cos x (рис. А) получим график Г для функции y = cos(x + π/2).
4. График функции y = f(|x|) получается из графика функции y = f(x) отбрасыванием части графика, лежащей слева от оси ординат (x <0 ) и симетрическим относительно этой оси повторением оставшейся части рграфика. Но, так как y = cos x -  четная функция, то cos(-x) = cos x = cos |x|, следовательно, график функции y = cos |x| совпадает с графиком функции y = cos x - рисунок А.

 

Ответ:

1 - Б
2 - Д
3 - Г
4 - А

27. Установите соответствие между числовыми выражениями (1 - 4) и их значениями (А - Д).

 

Числовое выражение

Значение выражения

1.

15

2.

6

3.

5

4.

3

 

1

Решение.

1. - В.

2. - Д.

3. - Г.

4. - Б.

 

Ответ:

1 - В
2 - Д
3 - Г
4 - Б

 

28. На рисунке изображена равнобедренная трапиция ABCD, у которой AD = 8 см, BC = 4 см, AC = 10 см. Установите соответствие между проекцией отрезка на прямую (1 - 4) и длиной проекции (А - Д).

 

Проекция отрезка на прямую

Длина проекции

1. прекция отрезка BC на прямуюAD

2 см

2. прекция отрезка CD на прямуюAD

4 см

3.прекция отрезка AC на прямуюAD

4,8 см

4. прекция отрезка AD на прямуюAC

5,6 см

 

6 см

 

Решение.

 

Ответ:

1 - Б
2 - А
3 - Д
4 - В

29. Найдите наибольшее значение функции y = -x2 + 3x - 4. Если функция не имеет наибольшего значения, то в ответ запишите число 100.

Решение. Графиком квадратической функции y = -x2 + 3x - 4 является парабола, обращенная ветвями вниз, так как кэффициент при x2a = -1. В этом случае, функция достигает наибольшего значения в вершине параболы. По формуле получим абсцису вершины параболы . Подставив это значение в функцию, получим наиюольшее значение ymax = - 1,52 + 3*1,5 - 4 = -2,25 + 4,5 - 4 = -1,75.

Ответ: -1,75.

30. Сколько литров 5-процентного раствора соли следует добавить к 30 литрам 12-процентного раствора соли, чтобы получить 9-процентный раствор соли?

Решение.

Ответ: 22,5.

31. Заместитель директора школы составляет расписание уроков для 10-го класса. На понедельник он запланировал шесть уроков по таким предметам: геометрия, биология, английский язык, химия, физкультура, география. Сколько всего существует различных вариантов расписания на этот день, если урок физкультуры должен быть последним в расписании.

Решение.

Ответ: 5! = 120.

32. Найдите значение выражения tg2 α + ctg2 α , если tg α - ctg α = 4.

Решение. Заданное равенство tg α - ctg α = 4 возведем в квадрат, получим:
(tg α - ctg α)2 = 16;
tg2 α - 2 tg α ctg α + ctg2 α = 16,
учитывая, что tg α ctg α = 1, получим:
tg2 α - 2 + ctg2 α = 16,
tg2 α + ctg2 α = 16 + 2 = 18.

Ответ: 18.

Вспомнилась пословица "Маленькие дети - маленькие хлопоты ...", а тут уже синусы-косинусы, тангенсы-котангенсы. Хотя, как оказывается, с маленькими детьми хлопот тоже полно - взять, к примеру, лактазную недостаточность. Ввиду разнообразия форм ее симптомов порой сложно определить ее настоящие причины. В таких условиях сложно назначить правильное лечение, тем более, профилактику осложнений в последствии.

33. Решите неравенство 3·9x - 2·15x - 52x + 1 > 0. Если неравенство имеет целые решения, то укажите наибольшее из них. Если неравенство имеет решения, но указать наибольшее целое решение невозможно, то в ответ запишите число 50. Если неравенство не имеет решений, то в ответ запишите число 100.

Решение.

Ответ: 0.

34. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом 15o. Все боковые ребра пирамиды наклонены к площади основания под углом 60o. Радиус шара, описанного около пирамиды, равен 6 см. Вычислите объем пирамиды (см3).

Решение.

Ответ: 40,5 см3.

35. Укажите наименьшее значение a, при котором уравнение имеет ровно один корень.

Решение. Решение уравнений подобного рода сводится к нахождению корней числителя и исключения из их числа корней знаменателя. Ввиду этого уравнение может иметь ровно один корень в двух случаях: 1. если числитель имеет один корень, который не является корнем знаменателя; 2. числитель имеет 2 корня, но один из них является корнем знаменателя.

В первом случае дискриминант числителя D = 1 - 4 а должен быть равен 0, откуда получим 4а = 1 и а = 0,25.

Во втором случае дискриминант числителя должен быть положителен, но один из его корней должен равняться корню знаменателя:
2x+3=0,
2x=-3,
x=-1,5.
Применив к числителю теорему Виета (учитывая, что x1=-1,5), из соотношения x1+x2=1 получим x2=2,5. Из соотношения x1*x2 = а  найдем а = -1,5*2,5 = -3,75.

Ответ: -3,75.

author: 
admin
Категория: